Entre las contribuciones de Gottlob Frege a la filosofía de las matemáticas, destaca sin duda su tesis de que la aritmética forma parte de la lógica(i). Su formación como matemático le llevó a afirmar que las verdades de la aritmética son verdades lógicas objetivas, no subjetivas, siguiendo en este sentido el camino que va de Llull a Leibniz y rechazando la postura de filósofos como J. S. Mill, para quien las verdades aritméticas son verdades empíricas, basadas en la observación. Frege rechazó esta postura, así como la idea de que los números no son más que conglomerados de objetos. Un conglomerado puede ser visto como un compuesto de distinto número de cosas, dependiendo cómo contemos las partes. Un racimo de uvas puede contener ciento trece uvas, cada una de las cuales tiene a su vez innumerables átomos.

Por otra parte, Frege también se opuso al formalismo que estudia la aritmética como un sistema formal no interpretado, considerando que su sistema formal es significativo sólo en cuanto a lo que los signos representan y al significado de las proposiciones. Los signos propiamente, carecen de importancia. Pretender estudiar el sistema formal únicamente es para Frege confundir el signo con la cosa significada. Esto llevaría al absurdo de pensar que los números no son más que los numerales, los signos en la hoja. En ese caso deberíamos estudiar sus propiedades con un microscopio.

Desde su postura logicista, Ferge creyó que era posible probar deductivamente todas las verdades de la aritmética a partir de un cierto número de axiomas lógicos. Pero antes de ocuparse de lleno en este argumento, Frege se propone aclarar dos ideas necesarias para su demostración y que anteriormente, tal vez por el carácter elemental de las mismas, no habían requerido la misma atención.

La primera de estas ideas se refiere a los números cardinales, es decir, a ese tipo de números que en teoría de conjuntos se definen como la clase de todos los conjuntos tales que entre dos cualesquiera de ellos existe una correspondencia uno a uno (de tal forma que cualquier método de contar conjuntos utilizando un número cardinal dará el mismo resultado). Para Frege, un número cardinal es una propiedad de un concepto, en un sentido muy específico. Concepto es para Frege una función que tiene como valor de verdad los objetos abstractos Verdadero o Falso, para cualquier objeto que actúe de argumento. Así, el concepto “tener columna vertebral”, C(...), será una función que tiene como valor de verdad V para cualquier argumento que sea un vertebrado. Por ejemplo, si p representa el argumento “perro”, C(p) será Verdadero. Se dice que un objeto cae bajo un concepto, o una función, si dicha función tiene valor Verdadero para ese argumento.

La forma más elemental en que podemos referirnos a los números sería “el número de objetos que caen bajo un concepto F”, o directamente, “el número de Fs”, lo cual no está exento de circularidad, pero encontraremos una solución más elegante en los siguientes párrafos. “El número de Fs”, en teoría de conjuntos, no es más que el número de elementos de un conjunto F, esto es, F, o lo que es lo mismo, en notación simbólica: NxFx.

La segunda idea que plantea Frege es que los números son objetos, nuevamente en un sentido fregeano muy específico. Se refiere a una clase de conceptos no ligada a intuiciones, al contrario de lo que suponía Kant. Esta última cuestión, de la que nos ocuparemos más extensamente, está íntimamente conectada con la tesis de que la aritmética forma parte de la lógica. Su camino llevará de la definición de objetos lógicos a la de objetos matemáticos.

Para Frege, la noción de objeto es un concepto lógico. Mantenía que las expresiones lingüísticas que satisfacen ciertas condiciones sintácticas, al menos dan a entender que se refieren a objetos, en el sentido de que, como mínimo, aparentan tener referencia. Pero la definición de objeto es un tanto esquiva por su simplicidad y Frege no pretende dar una definición académica. Apenas sugiere que “objeto es todo lo que no es función, la expresión de lo cual, por tanto, no lleva consigo un lugar vacío”. Un caso podría ser, por ejemplo, el sujeto lógico de una proposición o lo que es lo mismo, el argumento de una función. De esta forma, el juicio “todos los hombres son mortales” posee cuantificación sobre el sujeto lógico hombres, que es el objeto que complementa la expresión no saturada “son mortales”, este sujeto lógico no coincide con el sujeto del análisis sintáctico tradicional que sería “todos los hombres”.

Para Fege, los numerales son conceptos de segundo orden, como veremos más adelante, es decir, conceptos de conceptos, que pueden ser definidos puramente en términos lógicos, haciendo uso de cuantificadores y de la identidad. De esta forma, diremos que enunciados acerca de números no son otra cosa más que enunciados acerca de conceptos. Decir que un concepto F está instanciado una vez es decir que existe un objeto x que instancia a F, y que para todo objeto y, o bien y no instancia a F, o bien y es x.

Otra idea importante es que la identidad debe tener sentido para cada tipo de objeto. Así, si ‘-----’ y ‘......’ son expresiones de objetos, entonces la función de identidad ‘----- = ......’ debe tener sentido tanto si ‘-----’ y ‘......’ representan objetos de la misma categoría como si no. Debe ser posible sustituir en cualquier juicio, salva veritate, la parte derecha de la identidad por la izquierda, y viceversa.

Podría considerarse que los términos numéricos dan a entender que se refieren a objetos, si consideramos inferencias existenciales del tipo: “2 es un número primo par”, luego “existe un número primo par”. Pero desde el punto de vista de Frege esto sólo demuestra que los números se refieren a algo, no necesariamente a un objeto, puesto que la cuantificación, al ser un objeto de segundo orden, también puede ocurrir sobre funciones o sobre conceptos.

A continuación veremos cómo se relaciona esto con su teoría del número. Para Frege existe una condición necesaria y suficiente para que el número de Fs sea igual al número de Gs, y esta es que el concepto F y el concepto G se encuentren en una relación de “equivalencia numérica”, es decir, F es equinumérico a G. El concepto F es equinumérico al concepto G si existe una correspondencia uno a uno entre los objetos de F y los objetos de G. Esto puede expresarse de la siguiente forma: Eqx(Fx, Gx). Por lo tanto, este primer principio resulta ser:

(A) NxFx = NxGx ≡ Eqx(Fx, Gx)

A continuación, Frege da una definición explícita, cuya justificación no es otra que la de que el principio (A) se deriva inmediatamente de ella. El número de F’s es definido como la extensión del concepto “numéricamente equivalente al concepto F”, o lo que es lo mismo, la clase de todos los conceptos equinuméricos al concepto F. De esta forma, el problema de la existencia de los números queda reducido al problema de la existencia de extensiones. La extensión provee una referencia segura para el concepto de numero, de ahí que sea una idea crítica en el sistema de Ferge. Para Frege, la extensión de un concepto no es otra cosa que su gama de valores, por ejemplo, en el caso de una función, su gama de valores serán los objetos que genere el mapeo completo de cada valor de argumento posible de dicha función. Frege también suele referirse a la extensión de conceptos como clases, pero no en el sentido de agregados o colecciones, sino simplemente como objetos correspondientes al mapeo completo de cada valor de argumento generado por conceptos considerados como funciones. Pero el inconveniente que se presenta en este planteamiento en base a la extensión de conceptos es que lleva directamente a la Paradoja de Russell.

Frege buscaba una ley lógica general por medio de la cual uno pudiera pasar de un concepto F a su extensión xFx, lo que equivale, según la notación de Quine, a su famosa ley V:

(V) xFx = xGx ≡ (x) (Fx ≡ Gx)

Esto afirma lo siguiente. El valor de verdad de la gama de valores de una función F idéntica a la gama de valores de una función G, es lo mismo que el valor de verdad de F y G teniendo el mismo valor para cada argumento. La dificultad se presenta en que a partir de aquí es posible considerar el siguiente teorema de pertenencia a una clase: para cualquier objeto x, este objeto está en la extensión del concepto F si y sólo si el valor de F con x como argumento es la Verdad. Pero dado que las gamas de valores mismas son consideradas objetos, si el concepto en cuestión es el de “ser la extensión de un concepto no incluido en sí mismo”, se concluye que la extensión de este concepto está en sí misma sólo en el caso de que no lo esté. Debido esta paradoja, el sistema lógico de Frege, en lo que respecta a la tesis de que los números son objetos y la aritmética forma parte de la lógica, resultaba ser inconsistente. Frege no vio ninguna alternativa posible para considerar los números como objetos lógicos, más que si es lícito pasar de un concepto a su extensión. Nunca menciona la posibilidad de aprender los números como objetos de ningún tipo más que objetos lógicos.

En su estudio de la identidad Frege se centra en el estudio de tres formas específicas:

1. el número de Fs = el número de Gs
2. el número de Fs = 7
3. el número de Fs = ...
donde “...” representa un nombre de tipo completamente diferente, como por ejemplo “la luna”, “Sócrates” o “la extensión del concepto número primo”.

Las condiciones de verdad de las identidades del tipo (1) están determinadas por el principio (A) que especificamos anteriormente. La identidad (1) será verdadera si y sólo si hay una correspondencia uno a uno entre los Fs y los Gs. Frege analiza las identidades de la forma (2) definiendo números individuales como los números que pertenecen a cierto concepto particular, de esta forma se ven asimilados a identidades del tipo (1). Por ejemplo, 0 es el número del concepto no idéntico a sí mismo y resulta ser el número de cualquier concepto en el que nada cae. n+1 será el número del concepto miembro de las series de los números naturales que acaban en n, es decir, la gama de valor de todas las gamas de valores iguales en tamaño a la gama de valor del concepto ser idéntico a uno de los números entre cero y n. De esta forma, uno se define como , la gama de valor de todas las gamas de valores iguales en tamaño a la gama de valor del concepto ser idéntico a cero, y así sucesivamente.

Para las identidades del tipo (3) resulta necesario recurrir a la definición explícita del concepto equinumérico a que propusimos anteriormente. En base al concepto de extensión, Frege propone que el sentido de (3) es el siguiente:

1. la extensión del concepto equinumérico al concepto F = ...

Y puesto que el sentido de esto último ya ha quedado definido, como decíamos antes (A) se sigue de la definición explícita.

En este punto podemos preguntarnos si la introducción de la extensión es esencial a la definición de número, podría considerarse que el análisis de identidades de la forma (1) es de por sí suficiente para establecer la tesis de que los números son objetos. Si somos capaces de afirmar que “hay tantos Fs como Gs”, de forma tal que no se mencione el concepto de número, podemos utilizar este análisis como un criterio para la identidad numérica, tal como hace Frege, esto es, “el número de Fs es el mismo número que el número de Gs” y establecer con ello una referencia objetual para el concepto de número.

Como justificación de la introducción del concepto de gama de valores (Werthverlaüfe), Frege intenta mostrar que cada nombre bien formado de su sistema posee una referencia. Para ello, sigue su famoso principio de contextualidad, nunca debemos preguntarnos por el sentido de una palabra aisladamente, sino en el contexto de la preposición en que figura. Un nombre objeto tendrá referencia si cada nombre que resulta de su colocación como argumento en una función referencial de primer orden tiene referencia. Frege entendía que una función de primer orden era una función cuyos argumentos eran objetos, como por ejemplo, la función que ejemplificamos antes “tener columna vertebral”. Las funciones de segundo orden serán aquellas que aceptan funciones de primer orden como argumentos. La afirmación anterior equivale a decir que un nombre propio tiene referencia si cada enunciado en el que aparece tiene un valor de verdad.
La mayor dificultad se presenta al preguntar por la referencia de los nombres abstractos. El problema de mostrar que el cuantificador ‘x(...x...)’(ii) tiene referencia se reduce a mostrar que la igualdad ‘x(...x...)=______’ tiene un valor de verdad bien determinado, cualquiera sea el objeto que el nombre ‘______’ represente. Esto presenta algunos problemas que son incompatibles con el realismo de Frege respecto a los objetos abstractos.

Desde su punto de vista realista(iii), Frege no puede completar la especificación del sentido de los términos numéricos y las clases abstractas. Para ello se ve en la obligación de realizar ciertos supuestos respecto a sus referencias. De esta forma, la información que obtenemos acerca del sentido de estos términos según el principio (A) y el axioma (V) no es del todo irrelevante, puesto que permite eliminar las referencias a números y clases al menos en algunos contextos, y decidir los valores de verdad de algunas proposiciones que los refieren. Estos dos principios podrían denominarse definiciones contextuales parciales. Puesto que dan alguna justificación para asumir entidades de un cierto tipo, si bien no ofrecen una garantía frente a las contradicciones, tal cual hemos visto en el caso de que una instancia de (V) da lugar a la paradoja de Russell.

Finalmente, debemos preguntarnos hasta qué punto es necesario recurrir a una definición de ‘el número de Fs’ en términos de clases. Sería posible obviar que la posibilidad de una definición de este tipo es lo que garantiza que los números existan. Sería más simple utilizar la explicación y justificación para la introducción de clases, de acuerdo a la cual los números pueden ser reducidos por definición, directamente para los números. De esta forma, la identificación de números con clases podría aún ser de utilidad para el propósito filosófico de mostrar que, en definitiva, los números nos son entidades más problemáticas que las clases.
Adrián Icazuriaga

Gottlob Frege. The Foundations of Arithmetic. Oxford, Blackwell 1953.
Charles Parsons. Mathemaics in Philosophy (Selected Essays). Cornell University Press. NY, 2005.
Luis Vega Reñón. Lecturas de Lógica I. Cuadernos de la UNED.
Eduardo de Bustos Guadaño. Filosofía del Lenguaje. UNED.
W.V. Quine. Quintessence. Basic readings from the philosophy of. Harvard University Press, Cambridge, Massachusetts, 2004.
Kevin C. Klement (University of Massachusetts). Gottlob Frege en The Internet Enciclopedia of Philosophy: http://www.iep.utm.edu/p/par-liar.htm
Y, como reseña general, un sitio especialmente recomendable, MathWorld: http://mathworld.wolfram.com/topics/Logic.html


(i) Gottlob Frege. The Foundations of Arithmetic.
(ii) Según hemos visto anteriormente, se trata de una función de segundo orden, puesto que toma como argumentos funciones de primer orden. Dará como valor Verdadero, si la función argumento tiene como valor Verdadero para todos los valores de x, y dará Falso en caso contrario. Por ejemplo ‘xC(x)’ es falso, ya que C( ) no es Verdadero para todos los valores de x.
(iii) Para Frege, las funciones lógicas así como los valores de verdad son entidades lógicas reales que existen separadamente del mundo material y mental. Esto justifica, según su modelo referencial, a los axiomas lógicos verdaderos, puesto que expresan pensamientos verdaderos acerca de estas entidades.