To say that we can attribute to English speakers a consistent set of rules in their use of ‘true’ and related locutions is not to say that we can describe these rules completely. Clearly in this domain as in related ones in logic, the price of consistency is incompleteness.
(Charles Parsons, The Liar Paradox)
Como la mayoría de las paradojas semánticas, la paradoja del mentiroso se produce debido a una referencia circular dentro del propio enunciado. Su presentación puede variar desde un simple “miento”, hasta una forma algo más elaborada como la siguiente:
Este enunciado es falso
Pero lo cierto es que de una forma o de otra su posible verdad o falsedad ha inquietado al pensamiento filosófico durante los últimos 2000 años y las discusiones sobre si posee o no sentido, sobre si es o no gramaticalmente correcta, han venido a cuestionar algunos supuestos del lenguaje común y a sentar las bases de la teoría semántica moderna.
Los diferentes caminos que se han adoptado frente a la paradoja pueden resumirse en las siguientes posturas:
- La paradoja no cuestiona los fundamentos del lenguaje y por tanto no hace falta resolverla, lo que hace falta es no usarla. Esta es más o menos la opinión de Wittgenstein.
- No es un enunciado gramáticamente correcto.
- Es un enunciado gramáticamente correcto pero no es una proposición. Asignar el término “verdadero” a una proposición es lo mismo que realizar un acto ilocutivo, en el sentido austiniano[1], es decir, estamos comprometiéndonos de alguna manera con lo que decimos, no estamos asignando simplemente una propiedad (‘lo verdadero’) a dicha proposición. En el caso de la paradoja, quien la dice está intentando comprometerse con algo que no está ahí y por lo tanto es una emisión sin sentido. Este argumento fue defendido en alguna ocasión por el Profesor Strawson.
- No posee ningún sentido. El error estaría en que el lenguaje natural presenta una jerarquía de niveles sintácticos y el enunciado de la paradoja ocupa más de uno de estos niveles al mismo tiempo. Entre los defensores de esta postura se encuentran Russell y Quine.
- Es correcta gramaticalmente y tiene sentido pero no es ni verdadera ni falsa. Según Kripke, existe una jerarquía de niveles semánticos en el lenguaje natural que llevan a esta conclusión.
- Existe algún error en el argumento que conduce a la contradicción.
- Es verdadera y falsa al mismo tiempo.
En el presente trabajo resumiremos la interpretación de la paradoja del mentiroso expuesta por Charles Parsons según una aproximación sistemática en términos de lógica simbólica, ofreciendo finalmente un paralelismo con la teoría de conjuntos.
La teoría semántica de Tarski sobre el significado de la expresión predicativa “es verdad” demuestra que los lenguajes naturales son semánticamente cerrados, esto es, contienen su propio predicado global de verdad. El teorema de Tarski implica que un lenguaje formalizado como el de la lógica o el de la aritmética no puede ser semánticamente cerrado y por lo tanto un enunciado como el del mentiroso simplemente no es legítimo, no está bien formado.
La exposición formal de la paradoja según Tarski sería la siguiente. Sea P una expresión monádica como la que satisface la paradoja del mentiroso y sea el predicado global de verdad T, entonces,
Ex(Px & ~Tx)
La mejor exposición de estos resultados en relación con la paradoja del mentiroso reforzada[2] es la de Bas van Fraassen basándose en la lógica de predicados.
Formalmente, la paradoja puede expresarse de la siguiente forma. Considérese una serie de enunciados A, B... de un cierto lenguaje objeto que poseen, en dicho lenguaje, nombres estándar, a,b... y pueden además denotarse mediante otras expresiones, por ejemplo, α, β... Supongamos que ‘T’ es un predicado monádico que expresa la verdad en ese lenguaje. Cualquier expresión de T referida al lenguaje objeto será un enunciado del metalenguaje. Llamemos A al enunciado negación de la verdad de α, ~Tα y digamos que a es su nombre estándar. Por lo tanto se cumple que,
(i) Ta ≡ ~Tα
y dado que
(i’) a=α es verdadero,
obtenemos la contradicción,
Tα ≡ ~Tα o bien Ta ≡ ~Ta
Sabemos que en el caso de que ~Tα no sea ni verdadero no falso, entonces (i) no será siempre verdadero. Según Van Fraassen, la relación entre un enunciado A y Ta es tal que si A es verdadero, Ta lo es también y viceversa.
Sería natural afirmar que si A no es verdadero entonces Ta es falso, dado que Ta afirma que A es verdadero, y no lo es. Pero en nuestro caso esto no sucede así. Si Ta es falso, ~Ta es verdadero, pero entonces, dado que (i’) , ~Tα es verdadero, por sustitución directa. Pero, por hipótesis, este resultado es A, con lo cual si A no es verdadero, es verdadero. Además si ~Tα es verdadero, Ta lo es también por (i) y ~Ta es verdadero por (i’), con lo cual hemos llegado a una contradicción. Partimos de un enunciado A que no es verdadero, pero el enunciado que dice que es verdadero (Ta) no es falso, sino ni verdadero ni falso.
Las principales críticas a la exposición de van Fraassen se centran en una presunta divergencia entre de sentido entre el predicado ‘~T’ del lenguaje objeto y la frase ‘no es verdadero’ del metalenguaje. Existe un enunciado A tal que (es verdad afirmar en el metalenguaje que) no es verdadero, pero Ta, el enunciado que se supone que debe afirmar en el lenguaje objeto que A es verdadero, no es falso, y ~Ta no es verdadero.
Otro punto en el que van Fraasaen encuentra una inconsistencia ocurre si consideramos que,
(ii) Ta > A
Por el razonamiento anterior sabemos que A es ~Ta. Por lo tanto,
Ta > ~Tα
Además, puesto que se cumple (i’), obtenemos nuevamente la contradicción de que ~Tα y ~Ta, ambos no son verdaderos.
Para exponer la formulación de Parsons de la paradoja será necesario considerar dos enunciados relacionados que ejemplifican la paradoja del mentiroso. Dichos enunciados pueden surgir en un lenguaje en el que podemos hablar de un enunciado que expresa una proposición, donde además la proposición es verdadera, y en el cual es posible nombrar enunciados.
No tiene importancia la manera en que un enunciado llega a contener un término singular que denota al propio enunciado, excepto que el hablar de un enunciado que expresa una proposición, sin referencia al contexto, implica que no contiene demostrativos, esto es, que expresiones como ‘este enunciado’ no se incluyen.
(1) El enunciado escrito en la esquina superior izquierda de la pizarra en el aula 9 de la Rockefeller University, a las 3:15 horas del 16 de Diciembre de 1971 expresa una proposición falsa.
(2) El enunciado escrito en la esquina superior derecha de la pizarra en el aula 9 de la Rockefeller University, a las 3:15 horas del 16 de Diciembre de 1971 no expresa una proposición verdadera.
Supongamos, para dar lugar a la paradoja, que a la hora mencionada y en el lugar mencionado la pizarra contiene exactamente el enunciado (1) y el (2), uno en cada esquina.
Llamemos ‘A’ a la referencia abreviada de (1) y ‘B’ a la referencia abreviada de ‘2’. Con lo cual,
(3) A = el enunciado escrito en la esquina superior izquierda de la pizarra en el aula 9 de la Rockefeller University, a las 3:15 horas del 16 de Diciembre de 1971.
B = el enunciado escrito en la esquina superior derecha de la pizarra en el aula 9 de la Rockefeller University, a las 3:15 horas del 16 de Diciembre de 1971.
A continuación debemos afirmar la verdad del enunciado en cuestión. Una posibilidad sería asumir instancias del esquema “’p’ expresa una proposición verdadera ≡ p”, y de la misma forma “’p’ expresa una proposición falsa ≡ ~p”. En este caso, según los postulados de la lógica de proposiciones, podemos inferir,
(4) ‘p’ expresa una proposición verdadera v ‘p’ expresa una proposición falsa.
Y por lo tanto,
‘p’ expresa una proposición.
Pero como deseamos permitir que ciertos enunciados no expresen proposiciones, sería más adecuado el siguiente esquema,
(5) (x) (x es una proposición ۰ ‘p’ expresa x > ۰ x es verdadera ≡ p)
Dado que asumimos que las proposiciones son bivalentes, podemos traducir ‘falsa’ como ‘no verdadera’, con lo cual (5) implica,
(6) (x) (x es una proposición ۰ ‘p’ expresa x > ۰ x es falsa ≡ ~p)
Supongamos ahora que x es una proposición y sustituimos p por el enunciado particular A, de tal forma que A expresa x. Por (5) sabemos que,
x es verdadera ≡ El enunciado escrito en la esquina superior izquierda de la pizarra en el aula 9 de la Rockefeller University, a las 3:15 horas del 16 de Diciembre de 1971 expresa una proposición falsa.
y según afirmamos en (3),
(7) x es verdadera ≡ A expresa una proposición falsa
Supongamos que x no es verdadera. Sumado a las hipótesis anteriores obtenemos que existe un x tal que,
( x) (x es una proposición ۰ ~(x es verdadera) ۰ A expresa x)
Es decir, A expresa una proposición falsa. Según (7), x es verdadera y dado que x es arbitraria,
(8) (x) (x es una proposición ۰ A expresa x > ۰ x es verdadera)
y por lo tanto, eliminando el condicional sabemos que
(9) ~( x) (x es una proposición ۰ ~(x es verdadera) ۰ A expresa x)
Supongamos a continuación que z es una proposición y que A expresa z. Según (8), z es verdadera. Además, se deduce (7) sustituyendo z por x. Pero según (9) esto es una contradicción, por lo tanto no existe una proposición z expresada por A. Por lo tanto el enunciado (1) no expresa una proposición.
De forma paralela veríamos que (2) no expresa una proposición.
Podríamos imaginar que en nuestro lenguaje objeto es lícito construir descripciones de la forma ‘la proposición que p’. En ese caso sería viable considerar todos los enunciados de la forma,
(10) ‘p’ expresa la proposición que p
En este caso, si pensamos que ‘la proposición que p’ debe denotar algo y no nada, llegaríamos a una contradicción. Si suponemos que debe denotar algo estamos diciendo que ‘p’ expresa una proposición, lo que no siempre deseamos. Es indiferente asumir que en (10) el término singular ‘la proposición que p’ no designa nada o admitir (10) sólo cuando ‘p’ expresa una proposición.
Según (5), (10) y ‘(Ex) (‘p’ expresa x)’, podemos afirmar que,
(11) la proposición que p es verdadera ≡ p
Pero no hay razón para afirmar esto último en el caso de que p no exprese una proposición.
La dificultad que se presenta en este caso es la siguiente. (1) afirma de un cierto enunciado, que casualmente es el propio (1), que expresa una proposición falsa. Habíamos llegado a la conclusión de que (1) no expresaba una proposición. En ese caso parecería que (1) dice algo falso. De esta forma, ¿no estamos forzados a admitir que después de todo (1) expresa una proposición falsa?
Análogamente, (2) afirma de sí misma que no expresa una proposición verdadera. Dado que no expresa proposición alguna, en particular tampoco expresa una proposición verdadera. Por lo tanto parecería afirmar algo cierto. ¿Debemos decir entonces que (2) expresa una proposición verdadera?
En ambos casos llegaremos a una contradicción. Esto pude ser evitado de la siguiente manera. Los cuantificadores en nuestro lenguaje objeto se pueden interpretar como variando dentro de un cierto rango U del universo del discurso. De esta forma, un enunciado como,
(Ex) (x es una proposición ۰ A expresa x)
es verdadero sólo en caso de que U contenga una proposición expresada por A, esto es, por (1). ¿Pero por qué razón debemos concluir del hecho de que hayamos encontrado un sentido a (1), e inclusive hayamos determinado su valor de verdad, que ésta expresa una proposición que se encuentra dentro del universo de U?
Es posible lograr la exclusión de U de las proposiciones expresadas por (1) y (2) haciendo notar que contienen cuantificadores sobre proposiciones, y por lo tanto, si (1) o (2) expresan una proposición en U deben ser definidos de forma impredicativa, esto es, en términos de una totalidad de la que ellos mismos son miembros. Es posible considerar las proposiciones impredicativas si consideramos que las proposiciones son entidades fuera de la mente y cuya existencia no depende de la posibilidad de que sean expresadas en enunciados[3].
La versión de la paradoja que hemos expuesto hasta ahora es más fuerte que un argumento basado en la impredicatividad. En resumen, muestra que (5), una expresión altamente plausible acerca del concepto de expresión y verdad, implica, según vimos antes, la existencia de enunciados bien formados que no expresan proposiciones en le rango de las variables vinculadas. Mientras que (5) parece seguir siendo compatible con una interpretación realista de las proposiciones.
Según las hipótesis del lenguaje en cuestión, es posible definir un predicado tarskista de verdad[4] para los enunciados, tal que T(z) es definida por,
(12) (Ex) (x es una proposición ۰ z expresa x ۰ x es verdadera)
Entonces (5) implica que
(13) (Ex) (x es una proposición ۰ ‘p’ expresa x)
> ۰ T(‘p’) ≡ p)
para todo enunciado p. Sin embargo corremos el riesgo de llegar a una contradicción si deseamos probar el consecuente de (13). Entonces nuestro lenguaje no sería ‘semánticamente cerrado’ según la teoría de Tarski, y T sólo cubriría una parte del lenguaje.
Interpretar (1) y (2) según la semántica de lógica de predicados, en donde los cuantificadores varían sobre un cierto rango U, hace posible comprenderlos y determinar su valor de verdad. Según vimos anteriormente (1) es falso y (2) es verdadero.
Mientras que tomando (1) y (2) como enunciados en el lenguaje común resulta tentador transgredir esta semántica y afirmar que los cuantificadores no varían sobre un cierto rango U, sino sobre absolutamente todo. Pero en ese caso el razonamiento propuesto nos demostraría que no expresan ninguna proposición. Aunque de todas formas parecen tener sentido, ya que poseemos un argumento para la falsedad de (1) y la verdad de (2). ¿Podemos aceptar la idea de un enunciado perfectamente razonable que no exprese una proposición? Y en ese caso, qué queremos decir al afirmar que dicho enunciado es verdadero, salvo que expresa una proposición verdadera?
Según Parsons, existe una analogía entre esta situación y las paradojas de teoría de conjuntos[5]. Que a sea la extensión de un predicado ‘Fx’ suele interpretarse de forma que se cumple la condición,
(14) (x) (x Є a ≡ Fx)
Análogamente a (5) tenemos que,
(15) (z) (z es extensión de ‘Fx’ > (x) (x Є a ≡ Fx) )
Tomando ‘Fx’ como ‘x¬ Є x’ podemos deducir,
~( Ez) (x) (x Є z ≡ x ¬Є x)
por lo tanto, según (14),
(16) ~(E z) (z es extensión de x ¬Є x)
Las mismas alternativas para la interpretación de los cuantificadores en (14)-(16) se presentan del mismo modo que en la paradoja del mentiroso. Si las variables se extienden sobre un universo U, (16) debe ser interpretada de tal forma que signifique que x ¬Є x, relativo a U, carece de extensión en U. Pero en nuestro metalenguaje podemos tal vez mostrar la existencia del conjunto relevante y por tanto probar que no es U.
Podríamos interpretar de esta forma que U no llega a contener “todos” los conjuntos. En ese caso deberíamos afirmar que el conjunto de todas las cosas que no son miembros de sí mismos no existe en absoluto. Sin embargo, esto no afecta al significado del predicado ‘x ¬Є x’.
La analogía de Parsons pretende hacer notar que un lenguaje puede contener predicados perfectamente significativos tales que, en una cierta teoría formulada en ese lenguaje, dichos predicados no tengan extensión[6]. Y lo mismo podría decirse respecto a los correlatos intensionales de estos predicados, desde dentro, no poseen atributos como intensiones. Lo que la paradoja muestra en primera instancia es que la misma situación se produce para los enunciados. Es decir, una teoría expresada en un cierto lenguaje no siempre puede correlacionar con un enunciado una proposición como su intensión, aunque el enunciado esté bien formado y su demostración sea posible. Y los mismo cabe decir respecto a su extensión.
Adrián Icazuriaga
Bibliografía y Referencias:
Charles Parsons. Mathemaics in Philosophy (Selected Essays). Cornell University Press. NY, 2005.
W.V. Quine. Quintessence. Basic readings from the philosophy of. Harvard University Press, Cambridge, Massachusetts, 2004.
J.L. Austin. How to do things with words. Harvard University Press, Cambridge, Massachusetts, 2003.
P.F. Strawson. Análisis y Metafísica. Ed. Piados, 2002.
Bradley Dowden (California State University). Especialmente útil y claro ha sido su artículo Liar Paradox para The Internet Enciclopedia of Philosophy: http://www.iep.utm.edu/p/par-liar.htm
Norman Swartz (Simon Fraser University). Truth. http://www.iep.utm.edu/t/truth.htm
Eric W. Weisstein. "Russell's Antinomy" From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/RussellsAntinomy.html
Y, como reseña general, un sitio especialmente recomendable, MathWorld: http://mathworld.wolfram.com/topics/Logic.html
Notas:
[1] J.L. Austin. How to do things with words, Lecture VIII, p. 98.
[2] Comúnmente, se entiende por paradoja del mentiroso reforzada la variante con una negación explícita: Este enunciado no es verdadero. Este esquema ha supuesto un reto aún mayor para el análisis filosófico.
[3] Para una exposición más detallada acerca del realismo véase el ensayo de Quine ‘On What There Is’, p.188
[4] Según Tarski, una teoría es una teoría de verdad para un lenguaje L si y sólo si, para cada enunciado S de L, si S expresa la proposición que p, entonces la teoría implica una proposición verdadera, llamémosle T, según el siguiente esquema:
(T) La proposición expresada por S en L es verdadera si y sólo si p.
[5] Por ejemplo, la antinomia de Russell. Sea R el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos. Entonces R no es ni miembro de sí mismo ni no miembro de sí mismo: . Entonces si y sólo si .
[6] Según la teoría tradicional del significado, la extensión de un término no es otra cosa que el conjunto de individuos a los cuales se aplica. Mientras que la intensión coincide con su significado.
